Halo! Apa kabar? Pada kesempatan kali ini, kita akan membahas mengenai turunan pertama dari suatu fungsi. Mungkin kamu pernah mendengar istilah ini di pelajaran matematika, terutama saat mempelajari kalkulus. Turunan pertama dari sebuah fungsi memiliki peranan penting dalam memahami perubahan suatu fenomena. Yuk, simak penjelasan lengkapnya di bawah ini!
Apa Itu Turunan Pertama?
Turunan pertama dari adalah suatu konsep matematika yang digunakan untuk menggambarkan perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Dalam konteks ini, “turunan pertama” mengacu pada perubahan kecil pada fungsi ketika variabel independen berubah dalam batasan yang sangat dekat.
Turunan pertama sering disebut sebagai gradien atau kecepatan perubahan suatu fungsi. Secara geometris, turunan pertama dapat diartikan sebagai kemiringan garis tangen pada suatu titik pada grafik fungsi. Nilai turunan pertama juga dapat memberi informasi mengenai arah perubahan fungsi, apakah mengalami peningkatan atau penurunan.
Rumus Turunan Pertama
Rumus umum untuk menghitung turunan pertama dari suatu fungsi f(x) adalah dengan menggunakan limit sebagai h mendekati nol. Berikut adalah rumus turunan pertama:
f'(x) = lim (h→0) [(f(x+h) – f(x)) / h]
Pada rumus di atas, f'(x) menunjukkan turunan pertama dari f(x), dan h merupakan suatu bilangan yang mendekati nol. Dalam prakteknya, perhitungan turunan pertama bisa dilakukan dengan menggantikan x+h ke dalam fungsi f(x), kemudian mengkurangi hasilnya dengan f(x). Hasilnya kemudian dibagi dengan h.
Contoh Soal Turunan Pertama
Untuk memahami lebih jelas mengenai turunan pertama, mari kita lihat beberapa contoh soal berikut ini:
Contoh 1:
Diberikan fungsi f(x) = 3x^2 + 2x – 1. Hitunglah turunan pertama dari f(x).
Jawab:
Langkah pertama adalah menggantikan f(x) dengan f(x+h) dalam rumus turunan pertama. Kita punya:
f(x+h) = 3(x+h)^2 + 2(x+h) – 1
Selanjutnya, kita substitusikan nilai f(x+h) dan f(x) ke dalam rumus turunan pertama:
f'(x) = lim (h→0) [(3(x+h)^2 + 2(x+h) – 1 – (3x^2 + 2x – 1)) / h]
Setelah itu, kita bisa menyederhanakan rumus dan menghilangkan suku-suku yang sama:
f'(x) = lim (h→0) [(3x^2 + 6xh + 3h^2 + 2x + 2h – 1 – 3x^2 – 2x + 1) / h]
Dengan menyederhanakan lebih lanjut, kita dapat mengeliminasi suku-suku yang saling membatalkan:
f'(x) = lim (h→0) [6xh + 3h^2 + 2h / h]
Terakhir, kita dapat memfaktorkan h dari suku-suku tersebut:
f'(x) = lim (h→0) [h(6x + 3h + 2) / h]
Menghilangkan h di atas dan di bawah, kita dapatkan hasil akhir:
f'(x) = 6x + 2
Jadi, turunan pertama dari f(x) = 3x^2 + 2x – 1 adalah f'(x) = 6x + 2.
Contoh 2:
Diberikan fungsi g(x) = sin(x) + cos(x). Hitunglah turunan pertama dari g(x).
Jawab:
Pada contoh ini, kita akan menggunakan aturan turunan trigonometri untuk menemukan turunan pertama dari g(x). Aturan ini menyatakan bahwa turunan dari sin(x) adalah cos(x), dan turunan dari cos(x) adalah -sin(x).
Dengan menggunakan aturan ini, kita dapatkan:
g'(x) = cos(x) – sin(x)
Jadi, turunan pertama dari g(x) = sin(x) + cos(x) adalah g'(x) = cos(x) – sin(x).
Kesimpulan
Pada artikel ini, kita telah membahas mengenai turunan pertama dari suatu fungsi. Turunan pertama adalah konsep matematika yang digunakan untuk menggambarkan perubahan suatu fungsi terhadap variabel independennya. Dalam prakteknya, turunan pertama dapat digunakan untuk mendapatkan informasi mengenai arah perubahan suatu fenomena.
Rumus turunan pertama umumnya menggunakan limit untuk menghitung perubahan kecil pada fungsi. Dalam beberapa kasus, aturan turunan khusus dapat digunakan untuk mempercepat perhitungan turunan pertama, seperti aturan turunan trigonometri.
Semoga penjelasan di atas dapat membantu kamu memahami konsep turunan pertama dengan lebih baik. Teruslah berlatih dengan contoh soal dan jangan ragu untuk mengeksplorasi lebih lanjut mengenai kalkulus. Selamat belajar!
