Uji kompetensi 1 pada mata pelajaran matematika kelas 8 merupakan salah satu evaluasi yang penting bagi siswa untuk mengetahui sejauh mana kemampuan mereka dalam memahami materi pola. Soal-soal yang diberikan pada uji kompetensi ini memiliki tingkat kesulitan yang beragam. Oleh karena itu, banyak siswa yang membutuhkan jawaban soal matematika kelas 8 uji kompetensi 1 pola.
Soal Nomor 1
Soal nomor 1 pada uji kompetensi 1 matematika kelas 8 adalah sebagai berikut:
Sebuah pola terdiri atas bilangan 2, 4, 6, 8, 10, …. Jika suku ke-20 pola tersebut adalah 40, maka suku ke-30 dari pola tersebut adalah?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n pada pola aritmatika untuk menyelesaikan soal ini. Rumusnya adalah:
suku ke-n = suku pertama + (n-1) x selisih
Dalam pola ini, suku pertama adalah 2 dan selisihnya adalah 2. Maka, suku ke-20 dapat dihitung sebagai berikut:
suku ke-20 = 2 + (20-1) x 2 = 40
Untuk mencari suku ke-30, kita dapat menggunakan rumus yang sama:
suku ke-30 = 2 + (30-1) x 2 = 58
Jadi, suku ke-30 dari pola tersebut adalah 58.
Soal Nomor 2
Soal nomor 2 pada uji kompetensi 1 matematika kelas 8 adalah sebagai berikut:
Sebuah pola terdiri atas bilangan 1, 3, 6, 10, 15, …. Jika suku ke-n pola tersebut adalah 91, maka nilai n adalah?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n pada pola segitiga untuk menyelesaikan soal ini. Rumusnya adalah:
suku ke-n = n(n+1)/2
Dalam pola ini, suku pertama adalah 1 dan selisihnya adalah 2. Maka, suku ke-n dapat dihitung sebagai berikut:
n(n+1)/2 = 91
n^2 + n – 182 = 0
Nilai n dapat dicari dengan menggunakan rumus kuadrat, yaitu:
n = (-1 + √(1 + 4(182)))/2 atau n = (-1 – √(1 + 4(182)))/2
Karena n harus bernilai positif, maka kita ambil nilai n yang positif:
n = (-1 + √(1 + 728))/2 = 13
Jadi, nilai n pada suku ke-91 dari pola tersebut adalah 13.
Soal Nomor 3
Soal nomor 3 pada uji kompetensi 1 matematika kelas 8 adalah sebagai berikut:
Sebuah pola terdiri atas bilangan 1, 4, 7, 10, 13, …. Jika suku ke-n pola tersebut adalah 100, maka nilai n adalah?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n pada pola aritmatika untuk menyelesaikan soal ini. Rumusnya adalah:
suku ke-n = suku pertama + (n-1) x selisih
Dalam pola ini, suku pertama adalah 1 dan selisihnya adalah 3. Maka, suku ke-n dapat dihitung sebagai berikut:
1 + (n-1) x 3 = 100
3n – 2 = 100
3n = 102
n = 34
Jadi, nilai n pada suku ke-100 dari pola tersebut adalah 34.
Soal Nomor 4
Soal nomor 4 pada uji kompetensi 1 matematika kelas 8 adalah sebagai berikut:
Sebuah pola terdiri atas bilangan 2, 5, 10, 17, 26, …. Jika suku ke-n pola tersebut adalah 200, maka nilai n adalah?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n pada pola kuadrat untuk menyelesaikan soal ini. Rumusnya adalah:
suku ke-n = an^2 + bn + c
Dalam pola ini, kita dapat mencari nilai a, b, dan c dengan menggunakan tiga suku pertama dari pola tersebut. Maka, a, b, dan c dapat dihitung sebagai berikut:
a = suku kedua – suku pertama = 5 – 2 = 3
b = suku ketiga – 2suku kedua + suku pertama = 10 – 2(5) + 2 = 0
c = suku pertama
Sehingga, rumus suku ke-n pada pola ini adalah:
suku ke-n = 3n^2 + 2
Untuk mencari nilai n, kita dapat mengganti suku ke-n dengan 200, sehingga:
3n^2 + 2 = 200
3n^2 = 198
n^2 = 66
n = √66
Jadi, nilai n pada suku ke-200 dari pola tersebut adalah √66.
Soal Nomor 5
Soal nomor 5 pada uji kompetensi 1 matematika kelas 8 adalah sebagai berikut:
Sebuah pola terdiri atas bilangan 2, 6, 12, 20, 30, …. Jika suku ke-n pola tersebut adalah 500, maka nilai n adalah?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n pada pola bilangan segitiga untuk menyelesaikan soal ini. Rumusnya adalah:
suku ke-n = n(n+1)(n+2)/6
Dalam pola ini, suku pertama adalah 2 dan selisihnya adalah 4. Maka, suku ke-n dapat dihitung sebagai berikut:
n(n+1)(n+2)/6 = 500
n(n+1)(n+2) = 3000
Nilai n dapat dicari dengan mencoba nilai-nilai n secara berurutan sampai ditemukan nilai n yang memenuhi persamaan di atas. Jika kita mencoba n=10, maka:
10 x 11 x 12 = 1320
Nilai ini masih terlalu kecil. Jika kita mencoba n=11, maka:
11 x 12 x 13 = 1716
Nilai ini sudah terlalu besar. Oleh karena itu, nilai n harus berada di antara 10 dan 11. Kita dapat mencari nilai n yang tepat dengan menggunakan interpolasi. Dengan interpolasi, kita dapat memperkirakan nilai n yang memenuhi persamaan di atas dengan menggunakan dua nilai yang sudah diketahui, yaitu n=10 dan n=11. Rumus interpolasinya adalah:
n = n1 + (y-y1)/(y2-y1) x (n2-n1)
Dimana:
n1 = 10
n2 = 11
y1 = 10 x 11 x 12 = 1320
y2 = 11 x 12 x 13 = 1716
y = 3000
Substitusi nilai ke dalam rumus interpolasi tersebut akan menghasilkan:
n = 10 + (3000-1320)/(1716-1320) x (11-10) = 10.8
Jadi, nilai n pada suku ke-500 dari pola tersebut adalah 10.8. Namun, karena nilai n harus berupa bilangan bulat, maka kita bulatkan nilai n ke atas menjadi 11.
Soal Nomor 6
Soal nomor 6 pada uji kompetensi 1 matematika kelas 8 adalah sebagai berikut:
Sebuah pola terdiri atas bilangan 1, 2, 5, 10, 17, …. Jika suku ke-n pola tersebut adalah 100, maka nilai n adalah?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n pada pola kuadrat untuk menyelesaikan soal ini. Rumusnya adalah:
suku ke-n = an^2 + bn + c
Dalam pola ini, kita dapat mencari nilai a, b, dan c dengan menggunakan tiga suku pertama dari pola tersebut. Maka, a, b, dan c dapat dihitung sebagai berikut:
a = suku kedua – suku pertama = 2 – 1 = 1
b = suku ketiga – 2suku kedua + suku pertama = 5 – 2(2) + 1 = 2
c = suku pertama
Sehingga, rumus suku ke-n pada pola ini adalah:
suku ke-n = n^2 + 1
Untuk mencari nilai n, kita dapat mengganti suku ke-n dengan 100, sehingga:
n^2 + 1 = 100
n^2 = 99
n = √99
Jadi, nilai n pada suku ke-100 dari pola tersebut adalah √99.
Soal Nomor 7
Soal nomor 7 pada uji kompetensi 1 matematika kelas 8 adalah sebagai berikut:
Sebuah pola terdiri atas bilangan 1, 3, 7, 13, 21, …. Jika suku ke-n pola tersebut adalah 500, maka nilai n adalah?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n pada pola segitiga untuk menyelesaikan soal ini. Rumusnya adalah:
suku ke-n = n(n+1)/2
Dalam pola ini, suku pertama adalah 1 dan selisihnya adalah 2. Maka, suku ke-n dapat dihitung sebagai berikut:
n(n+1)/2 = 500
n^2 + n – 1000 = 0
Nilai n dapat dicari dengan menggunakan rumus kuadrat, yaitu:
n = (-1 + √(1 + 4(1000)))/2 atau n = (-1 – √(1 + 4(1000)))/2
Karena n harus bernilai positif, maka kita ambil nilai n yang positif:
n = (-1 + √4001)/2 = 31
Jadi, nilai n pada suku ke-500 dari pola tersebut adalah 31.
Soal Nomor 8
Soal nomor 8 pada uji kompetensi 1 matematika kelas 8 adalah sebagai berikut:
Sebuah pola terdiri atas bilangan 2, 4, 9, 16, 25, …. Jika suku ke-n pola tersebut adalah 100, maka nilai n adalah?
Jawaban:
Kita dapat menggunakan rumus suku ke-n pada pola kuadrat untuk menyelesaikan soal ini. Rumusnya adalah:
suku ke-n = an^2 + bn + c
Dalam pola ini, kita dapat mencari nilai a, b, dan c dengan menggunakan tiga suku pertama dari pola tersebut. Maka, a, b, dan c dapat dihitung sebagai berikut:
a = suku kedua – suku pertama = 4 – 2 = 2
b = suku ketiga – 2suku kedua + suku pertama = 9 – 2(4) + 2 = 1
c = suku
